Общие уравнения динамики точки. Качественный кинематический анализ Расчет  балки на прочность

Доказательство существования решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Единственность решения. Линейное дифференциальное уравнение n-ого порядка. Линейное однородное уравнение. Линейная зависимость функций. Фундаментальная система. Детерминант Вронского. Линейное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Классификация линейных уравнений с частными производными 2-го порядка. Характеристики линейных уравнений с двумя независимыми переменными.

Общие уравнения динамики точки.

Многие задачи динамики эффективно решаются при помощи общих теорем динамики, которые получаются с применением второго закона Ньютона.

Теорема об изменении количества движения точки.

Теорема об изменении количества движения точки (K), называется векторная величина, равная произведению векторной скорости точки. 

Теорема (в дифференциальной форме)

Производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил

Доказательство:

Далее введём понятие: импульс силы. Импульс силы характеризует действие силы в течении определённого промежутка времени.

Элементарным импульсом силы называется векторная величина dS, равная произведению силы F на элементарный промежуток времени dt: . Импульс силы за промежуток времени t1, вычисляется как векторная величина:

.

Замечание: если сила представляется суммой n – малое сил , то импульс сил определяется суммой S, то есть:

.

Импульс материального тела равен произведению массы материального тела на скорость его центра масс:

.

Отсюда:

, но  – ускорение центра масс. Следовательно:

Используя теорему об изменении импульса материального тела:

, где.

  – о теорема о движении центра масс: произведение массы материального тела на ускорение его центра масс равно сумме всех внешних сил, действующих на материальное тело.

Если мы имеем систему N материальных тел, то теорема о движении центра масс также справедлива:

, где ; .

Однако радиус-вектор центра масс и главный вектор внешних сил определяется по формулам:

,

Теорема в интегральной форме. Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени, равен импульсу силы, действующий на точку за тот же промежуток времени. .

Потенциальное силовое поле. Силовым полем называется область, в каждой точку которой, на помещённую в неё материальную точку действует сила однозначно определённая по величине и направлению в любой момент времени.

Потенциальная энергия материальной точки. Потенциальной энергией точки называется скалярная функция, равная значению функции взятой с обратным знаком.

Закон сохранения полной механической энергии. Полной механической энергией материальной точки называется сумма её кинетической E, и потенциальной энергии П, а полной Е = Т + П.

Первый частный случай: Допустим, что поверхность гладкая (трения нет)..

Плоский математический маятник. Плоским математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нити, и которая движется под действием силы тяжести в вертикальной плоскости.

Теоремы сложения скоростей и ускорений для точки; формулы, задающие распределение скоростей и ускорений точек абсолютно твердого тела. Углы Эйлера. Движение свободной материальной точки под действием ньютоновой силы притяжения к неподвижному центру. Первая и вторая космические скорости и их оценки (для Земли). Математический маятник. Уравнение движения. Фазовый портрет.
Расчёт открытой цилиндрической зубчатой передачи