Электропроводность полупроводников Физика атомного ядра и элементарных частиц

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Электронный газ и его некоторые свойства

В приближении свободных электронов электроны рассматриваются как идеальный газ. Металлический образец представляет собой для электронов трехмерную потенциальную яму. Реше­ние уравнения Шрёдингера для частицы, находящейся в такой яме, показывает, что энергия частицы может иметь только дискретные (квантованные) значения. Электроны являются фермионами (их спин равен 1/2); поэтому распределение электронов по энергетическим уровням описывается функцией распределения Ферми-Дирака. При выводе этой формулы (14.12) мы считали уровни энергии невырожденными, т. е. не учитывали возможности того, что данной энергии могут соответствовать несколько различных квантовых состояний частицы. Электроны обладают одной и той же энергией в двух состояниях, различающихся ориентацией спина (т. е. значениями квантового числа ms, которое может быть равно ±1/2). В связи с этим среднее число электронов, находящихся на уровне энергии εi , определяется выражением

(14.42)

Имеющий размерность энергии параметр μ в формуле (14.12) часто обозначают через ε F и называют уровнем Ферми или энергией Ферми, что и было использовано в формуле (14.42). Отметим, что ε F > 0, иначе некоторые числа заполнения обращались бы при Т → 0 К в нуль.

При абсолютном нуле электроны располагаются попарно на самых низких доступных для них уровнях. В соответствии с этим зависимость <ni> от εi имеет вид, показанный на рис. 14.5. Вследствие дискретности уровней горизонтальный участок графика состоит из отдельных точек. Однако уровни расположены столь густо, что изображающие их точки сливаются в непрерывную линию.

Рис. 14.5.

Каждой ячейке фазового пространства соответствуют два состояния электрона, различающиеся направлением спина. Поэтому, как и в случае фотонов, число состояний в тонком энергетическом слое объема ∆τi определяется формулой (см. (14.19))

(14.43)

Импульс электрона связан с его энергией соотношением εi = р2/2m. Отсюда pi = (2mεi)1/2, а pi ∆pi = m ∆εi . Перемножив эти выражения, найдем, что

Произведя в (14.43) такую замену, получим

(14.44)

Введя обозначения

(14.45)

представим формулу (14.44) в виде

(14.46)

При абсолютном нуле заполнены N нижних состоя­ний, где N — число электронов в данном образце металла. Следовательно, сумма чисел Zi, соответствующих энергиям от 0 до εmах, должна быть равна N:

(14.47)

(учли, что при абсолютном нуле εmах = ε F). Приняв во внимание, что ∆εi << εi, можно в формуле (14.47) заменить суммирование интегрированием. Тогда

(14.48)

Подстановка выражения (14.45) для А дает

Отсюда с учетом того, что N/V = п есть концентрация свободных электронов, т. е. их число в единице объема металла, получается для уровня Ферми при абсолютном нуле формула

(14.49)

Оценка дает для ε F(0) примерно 5 эВ в случае характерного значения n = 5∙1028 м-3.

Величина

(14.50)

называется температурой Ферми. Для ε F(0) = 5 эВ температура Ферми равна примерно 60 000 К, т. е. в 200 раз превышает комнатную температуру.

Теперь можно найти среднюю энергию электронов при абсолютном нуле. Для этого нужно умножить число состояний Zi, на энергию εi и просуммировать произведения по соответствующим значениям индекса i. В результате получится суммарная энергия Е свободных электронов, заключенных в объеме V:

Замена суммирования интегрированием дает

(14.51)

Разделив суммарную энергию Е на число электронов N, т. е. взяв отношение выражений (14.51) и (14.48), найдем среднюю энергию свободных электронов при абсолютном нуле:

(14.52)

А. Эйнштейн в 1905 г. показал, что явление фотоэффекта и его закономерности могут быть объяснены на основе предложенной им квантовой теории фотоэффекта. Согласно Эйнштейну, свет частотой n не только испускается, как это предполагал Планк (см. § 200), но и распространяется в пространстве и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых e0=hn. Таким образом, распространение света нужно рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных световых квантов, движущихся со скоростью с распространения света в вакууме. Кванты электромагнитного излучения получили название фотонов.
Примесная проводимость полупроводников