Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Свойства операторов физических величин

В квантовой механике используются линейные операторы, т.е. операторы, обладающие свойствами:

  (15)

где , - произвольные функции, а - произвольная постоянная. Оператор физической величины должен обладать еще одним свойством: он должен быть эрмитовым (самосопряженным). По определению, оператор  называется эрмитовым , если

  , (16)

т.е. , где 

 -

матричный элемент оператора .

Покажем, что свойство эрмитовости обеспечивает вещественность среднего значения физической величины. С этой целью вычислим величину, комплексно сопряженную к величине (14):

(если оператор  эрмитов, то  и поэтому)

 ,

что и требовалось доказать. Здесь - оператор, транспонированный к оператору , определяемый равенством

  

где  и  - произвольные функции.

 Часто используют обозначение: , оператор  называется эрмитовосопряженным по отношению к оператору . Если оператор  эрмитов, то .

 В классической механике компоненты радиуса-вектора и вектора импульса частицы подчиняются коммутативному закону умножения. Например, . Проверим, выполняется ли этот закон для операторов физических величин. Вычисляем:

 

Значит,

 .

Величина  называется коммутатором операторов  и . Если , то говорят, что операторы  и  коммутируют друг с другом.

Введём оператор отклонения физической величины от среднего значения (оператор абсолютной погрешности, или оператор флуктуации физической величины): .

Это эрмитовый оператор, если только оператор  эрмитовый. Поскольку , то в качестве меры отклонения величины от среднего значения можно взять среднее квадратичное отклонение . Вычислим эту величину:

  (17)

Как видим, среднее квадратичное отклонение всегда неотрицательно.

Резерфорд, исследуя прохождение a-частиц в веществе (через золотую фольгу толщиной примерно 1 мкм), показал, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые  a-частицы (примерно одна из 20 000) резко отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже 180°). Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, как a-частицы, то Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение a-частиц обусловлено их взаимодействием с положительным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие a-частицы; следовательно, лишь некоторые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь, означает, что положительный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.
Основные понятия квантовой механики