Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Собственные значения и собственные функции операторов.

Задача на собственные значения операторов

Поставим задачу: найти такие состояния микросистемы, в которых физическая величина имеет строго определённые значения. Очевидно, что в таких состояниях среднее квадратичное отклонение

=0.

В силу (17) это равенство можно представить в виде

.

Так как подынтегральное выражение здесь неотрицательно, то отсюда следует, что

  (18)

Здесь мы учли, что среднее значение имеет строго определенное значение и поэтому заменили  на . Выражение (18) представляет собой уравнение для определения  и . Очевидно, что функция  будет зависеть от  как от параметра: =. В результате получаем соотношение

.  (19)

Это задача на собственные значения оператора ,  - собственное значение оператора , отвечающее собственной функции .

Нас интересует не любое решение уравнения (19), а решение, имеющее физический смысл. Только такое решение мы будем считать физическим и называть волновой функцией. Волновая функция должна подчиняться следующим условиям:

Волновая функция должна быть непрерывной и иметь достаточное число непрерывных производных. Это обусловлено тем, что волновая функция должна подчиняться динамическому уравнению, которое является дифференциальным.

Волновая функция должна быть конечной, за исключением, может быть, особых точек, где она может обращаться в бесконечность, но так, чтобы интеграл  был конечным. Это обусловлено тем, что волновая функция имеет вероятностный смысл.

-функция должна быть однозначной. В противном случае предсказания теории не будут определенными.

Это стандартные условия, налагающиеся на -функцию. Оказывается, что задача на собственные значения имеет физические решения не при любых , а лишь при избранных:  . Совокупность этих значений называется спектром физической величины. Спектр называется дискретным, если величина   принимает лишь отдельные значения, и непрерывным, если эта величина может принимать любое значение.

Говорят, что величина  квантуется, если спектр оператора этой величины дискретный. Очевидно, что причиной квантования являются стандартные условия, накладываемые на волновую функцию.

Собственные значения эрмитова оператора вещественны.

В квантовой механике постулируется, что совокупность собственных значений оператора  даёт множество всех значений величины , которое она может принимать при измерениях. Этот постулат определяет физическое значение задачи на собственные значения оператора.

В математике доказывается, что совокупность собственных функций   линейного эрмитового оператора образует полную систему. Это значит, что любую функцию  можно разложить по этой системе:

,  (20)

где  - собственные функции некоторого эрмитового оператора,  - некоторые постоянные, определяющиеся видом функции . Правая часть выражения (20) называется обобщённым рядом Фурье для функции .

6. Свойства собственных функций.

Полная ортонормированная система функций

Рассмотрим задачу на собственные значения:

  .

Для простоты считаем, что собственная функция  зависит только от одной пространственной координаты: . Введем понятие ортогональности функций  и . Говорят, что эти функции ортогональны между собой, если

 .

Рассмотрим собственные функции  и , отвечающие различным собственным значениям оператора  :

 ,

 

Возьмём комплексное сопряжение от первого из приведенных равенств и умножим их далее так, как показано ниже:

 

 .

Затем обе части полученных равенств проинтегрируем по всему пространству и вычтем почленно из первого равенства второе:

.

В силу эрмитовости оператора  левая часть этого равенства обращается в нуль. Отсюда, в силу условия , получаем: . Следовательно, собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Волновые функции дискретного спектра всегда квадратично интегрируемы и поэтому могут быть нормированы на единицу. Значит, можно записать:

,  (21)

где - символ Кронекера. Система функций, подчиняющихся условию (21), называется ортонормированной.

 Если функции  в (20) образуют ортонормированную систему, то   можно определить следующим образом: умножаем обе части (20) на  и интегрируем по всему пространству:

(22)

Здесь мы использовали условие ортонормировки (21). Подставим это выражение в (20):

  (23)

Формула (23) должна быть тождеством относительно . Поэтому должно выполняться соотношение

   (24)

Это условие полноты системы функций . Система функций , подчиняющихся условиям (21) и (24), называется полной ортонормированной системой.

Если собственные функции принадлежат к непрерывному спектру, то в (24) необходимо выполнить замену . При этом условие ортонормировки (21) заменяется следующим равенством:

 ,

где в правой части стоит -функция Дирака. Здесь - собственная функция оператора , отвечающая собственному значению .

 

Контрольные вопросы

Что такое волновая функция? Зачем она нужна? Какова ее роль в квантовой механике?

Какова физическая интерпретация волновой функции?

От чего зависит волновая функция?

В чем состоит условие нормировки волновой функции?

В чем состоит принцип суперпозиции в квантовой механике?

Может ли волновая функция подчиняться нелинейному уравнению?

Что такое волновая функция в импульсном представлении?

Как получить волновую функцию в импульсном представлении, зная эту функцию в координатном представлении?

Почему операторы физических величин должны быть эрмитовыми?

Какая величина называется коммутатором операторов  и ?

Как построить оператор произвольной физической величины?

Как найти среднее значение физической величины  в состоянии ?

Каков физический смысл собственных значений оператора физической величины?

Какова связь между собственным значением оператора физической величины и средним значением этой величины?

Что называется спектром оператора?

Что такое квантование физической величины?

Что является причиной квантования?

Каковы стандартные условия, налагаемые на волновую функцию? Зачем нужны эти условия?

Почему собственные значения операторов физических величин вещественны?

Резерфорд, исследуя прохождение a-частиц в веществе (через золотую фольгу толщиной примерно 1 мкм), показал, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые  a-частицы (примерно одна из 20 000) резко отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже 180°). Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, как a-частицы, то Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение a-частиц обусловлено их взаимодействием с положительным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие a-частицы; следовательно, лишь некоторые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь, означает, что положительный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.
Основные понятия квантовой механики