Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Измерение физических величин в квантовой механике

Содержание

Вероятность результатов измерения физической величины.

Условие возможности одновременного измерения разных физических величин.

Соотношения неопределенностей и их физические следствия.

Волновая функция и измерения. Редукция волновой функции.

1. Вероятность результатов измерения физической величины

На прошлой лекции мы научились вычислять среднее  физической величины F и находить возможные значения этой величины.

Поставим следующую задачу. Пусть квантовая система находится в произвольном состоянии , и мы хотим измерить величину F в этом состоянии. Если бы функция  совпадала с собственной функцией оператора , скажем, , то это означало бы, что в состоянии  величина F имеет строго определённое значение . Но если  - произвольная функция? Какие значения  мы будем получать при измерении в этом случае?

Чтобы ответить на этот вопрос, разложим  по полной системе функций :  (1)

(обобщенный ряд Фурье), где  - собственные функции оператора , отвечающие собственному значению .

Подставим разложение (1) в выражение для среднего значения  (для простоты рассмотрим одномерный случай):

 .

Если - ортонормированная система функций, то получаем:

.  (2)

С другой стороны, условие нормировки  даёт:

.  (3)

Из теории вероятности известно, что если  - вероятность того, что случайная величина  принимает значение , то среднее значение вычисляется по формуле

,

причём полная сумма вероятностей .

Из сравнения последних равенств с (2) и (3) видно, что

. (4)

Значит, коэффициенты разложения (1) имеют следующий смысл: их квадрат модуля даёт вероятность того, что при измерении величины  будет получено значение . Величина  называется амплитудой вероятности.

Если величина  изменяется непрерывно (совокупность собственных значений оператора  образует непрерывный спектр), то вместо суммы в (1) появится интегрирование:

 ,

где . При этом

 

  

 .

Значит,  - это вероятность того, что при измерении величины   в состоянии  эта величина будет обнаружена в интервале

Резерфорд, исследуя прохождение a-частиц в веществе (через золотую фольгу толщиной примерно 1 мкм), показал, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые  a-частицы (примерно одна из 20 000) резко отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже 180°). Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, как a-частицы, то Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение a-частиц обусловлено их взаимодействием с положительным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие a-частицы; следовательно, лишь некоторые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь, означает, что положительный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.
Основные понятия квантовой механики