Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Волновая функция и измерения. Редукция волновой функции

Измерение физической величины представляет собой процесс взаимодействия системы, над которой проводят измерение, с прибором. Нас интересует квантовая система. В результате этого взаимодействия прибор переходит из начального в некоторое другое состояние, и по этому изменению состояния прибора мы судим о состоянии квантовой системы. Пусть состояние прибора характеризуется величиной g (показания прибора). Волновую функцию прибора обозначим через ,  - совокупность координат прибора. Прибор будем считать классическим, т.е. подчиняющимся классической механике.

Следует подчеркнуть важную особенность измерения в квантовой механике: измеряемая система подчиняется законам квантовой механики, а прибор – классической.

Пусть  и  - волновые функции прибора и электрона, соответственно, в начальном состоянии (до измерения),  - координата электрона. Так как состояния прибора и электрона до измерения независимы, то начальная волновая функция всей системы равна . Далее электрон и прибор взаимодействуют друг с другом, в результате взаимодействия волновая функция всей системы изменяется и уже не будет произведением функции от  и функции от . Разлагаем её по собственным функциям прибора:

, (13) 

где - коэффициенты разложения, которые являются некоторыми функциями .

Теперь на сцену выступает классичность прибора, которая проявляется в том, что в каждый момент времени показания прибора  должны иметь строго определённые значения. Это значит, что состояние всей системы после измерения должно описываться не всей суммой, а лишь определённым слагаемым в (13), например, . Отсюда видно, что величина  пропорциональна волновой функции электрона после измерения. В силу линейности уравнений в квантовой механике, связь между  и начальной функцией электрона должна быть линейной:

  , (14)

где ядро интегрального оператора  характеризует процесс измерения. Функция  содержит информацию как о свойствах  состояния, возникшего в результате измерения, так и о вероятности появления -го показания прибора, которая зависит от начального состояния системы.

Величина должна иметь вид:

,

где  - определённая функция,  - постоянная, зависящая от начального состояния. Отсюда видно, что ядро  должно иметь вид:

,

где - некоторые функции, зависящие от процесса измерения. Действительно, подставляя эти выражения в (14), получаем:

 ,

т.е.

.  (15)

В соответствии с общей интерпретацией,  - это вероятность того, что в результате измерения, проведенного над квантовой системой, получен -ый результат; при этом, очевидно, .

Если начальная волновая функция электрона совпадает с одной из , то, очевидно, =1, а все другие коэффициенты , т.е. измерение, проводимое над электроном, с достаточной точностью даст -ый результат. При этом  не совпадает с . Если электрон находится в состоянии  (), то произведённое над ним измерение даст с достоверностью . Но после измерения, в результате взаимодействия электрона с прибором, электрон окажется в состоянии , отличном от , в котором величина  не имеет строго определённого  значения. Это означает невоспроизводимость результатов измерения в квантовой механике. Если бы сразу же за первым измерением величины   мы произвели повторное измерение, то получили бы значение , не совпадающее с .

Как видно из изложенного, информация, содержащаяся в -функции, имеет статистический характер. Мы можем определить лишь вероятность получения в результате измерения того или иного значения физической величины.

Далее: состояние микрочастицы, над которой производится измерение, изменяется по сравнению с начальным состоянием. Поэтому для воспроизведения большого числа измерений над одним и тем же состоянием нужно приготовить большое число частиц, которые независимо друг от друга находятся в одном и том же состоянии, Такой набор частиц называется чистым статистическим ансамблем. Выполнив измерение над какой-либо частицей, мы изменяем ее состояние и выбрасываем её из рассмотрения. В результате большого числа измерений мы получаем набор чисел , дающих распределение вероятностей различных значений . Зная , мы тем самым знаем и волновую функцию состояния, над которым проводилось измерение, и чем большее число измерений проведено, тем точнее мы знаем состояние  частицы в нашем ансамбле. Таким образом, по результатам измерений мы можем восстановить волновую функцию.

Часто на опыте мы встречаемся со смешанным ансамблем: когда ансамбль содержит частицы  в различных состояниях , причём указаны вероятности  каждого из этих состояний.

Укажем на существенное различие между чистым и смешанным ансамблями. Из состояний  образуем волновую функцию

.

Если каждая из частиц находится в этом состоянии, то это чистый ансамбль.

Пусть теперь известно, что система может находиться в состоянии   с вероятностью , в состоянии   - с вероятностью  и т.д. Тогда это смешанный ансамбль.

В случае чистого ансамбля плотность вероятности нахождения частицы в точке  составляет:

.

В смешанном же ансамбле  - вероятность того, что частица находится в состоянии , а - вероятность того, что частица находится в точке , будучи в состоянии . Поэтому полная плотность вероятности выражается формулой

.

Таким образом, в чистом ансамбле имеется интерференция между отдельными частными состояниями, в отличие от смешанного. В чистом ансамбле складываются амплитуды, а в смешанном – интенсивности.

Замечание: В результате измерения величины  в состоянии , это состояние переходит в одно из состояний вида, где - собственная функция оператора . Такое изменение волновой функции , возникающее при измерении, называется редукцией волнового пакета. В результате измерения чистый ансамбль превращается в смешанный, который характеризуется величинами:

 

Действие прибора сводится, таким образом, к тому, что он осуществляет спектральное разложение волновой функции чистого ансамбля, превращая чистый ансамбль в смешанный.

 

Контрольные вопросы

Что такое амплитуда вероятности?

Как вероятность результатов измерений связана с амплитудой вероятности?

Как вычислить вероятность отдельных результатов измерения физической величины в квантовой системе, находящейся в некотором состоянии?

При каком условии можно одновременно измерить две различные физические величины?

Можно ли одновременно измерить координату микрочастицы и одноименную компоненту импульса?

Сформулировать соотношения неопределенностей для координат и импульсов.

Каковы физические следствия соотношений неопределенности?

Можно ли определить понятие траектории микрочастицы?

Сохраняют ли квантовые частицы свою индивидуальность в системах одинаковых частиц?

В чем проявляется классичность прибора при измерениях, проводящихся над квантовой системой?

Что означает невоспроизводимость результатов измерения в квантовой механике?

Что такое статистический ансамбль? Можно ли проводить измерения над микросистемой, не приготовив статистический ансамбль ее состояний?

Чем отличается чистый ансамбль от смешанного?

Что такое редукция волнового пакета?

Почему действие прибора сводится к спектральному разложению волновой функции чистого ансамбля?

Резерфорд, исследуя прохождение a-частиц в веществе (через золотую фольгу толщиной примерно 1 мкм), показал, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые  a-частицы (примерно одна из 20 000) резко отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже 180°). Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, как a-частицы, то Резерфордом был сделан вывод, что значительное отклонение a-частиц обусловлено их взаимодействием с положительным зарядом большой массы. Однако значительное отклонение испытывают лишь немногие a-частицы; следовательно, лишь некоторые из них проходят вблизи данного положительного заряда. Это, в свою очередь, означает, что положительный заряд атома сосредоточен в объеме, очень малом по сравнению с объемом атома.
Основные понятия квантовой механики