Элементы квантовой физики атомов и молекул

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Движение в кулоновском поле

 Потенциальная энергия электрона в поле ядра

 ,

где  - номер ядра. Удобно в качестве единиц измерения массы и длины взять массу электрона  и боровский радиус . Тогда единицей энергии будет величина , - энергия ионизации атома водорода. Уравнение для радиальных функций примет вид:

.  (13)

Удобно вместо  и  ввести следующие параметры:

.  (14)

Очевидно, что  вещественно при . Анализ решений при  показывает, что решение, подчиняющееся условию конечности, пропорционально . В новых обозначениях уравнение (13) запишется в виде:

.

Соответствующее ему асимптотическое уравнение при  дается равенством: . Отсюда . Из соображений конечности оставляем только нижний знак. Итак,

,  (15)

где функция  подчиняется уравнению

.  (16)

Решение уравнения (16), конечное при  и расходящееся при  не быстрее конечной степени , совпадает с вырожденной гипергеометрической функцией:

.  (17)

Приведем представление вырожденной гипергеометрической функции в виде степенного ряда:

 . (17а)

Решение уравнения для радиальной функции , удовлетворяющее условию конечности на бесконечности, получается, если

.

В этом случае указанный выше степенной ряд обрывается. В противном случае ряд расходится как . Итак, физические решения отвечают условию , и в этом случае функция  сводится к полиному относительно. Тогда, в силу (14),

,  (18)

 ( - главное квантовое число). В обычных единицах формула для энергии имеет вид: , где  - энергия ионизации атома водорода. При фиксированном значении  орбитальный момент принимает значения . Каждое собственное значение энергии вырождено по магнитному квантовому числу  и по орбитальному . Кратность вырождения уровня энергии   составляет . В задаче об атоме водорода оба параметра  и , от которых зависит вырожденная гипергеометрическая функция (см. (17) и (17а)), принимают целые значения. В этом случае

 ,

где ,  - обобщенный полином Лягерра. Условие нормировки радиальной функции:

 .

 Квантовые переходы электрона в атоме водорода с испусканием и поглощением фотонов возможны, если выполняется правило отбора . Приведем первые две серии спектральных линий, отвечающих таким переходам.

Серия Лаймана:

 ,

Серия Бальмера:

Следующие серии: Пашена, Брэкета, Пфундта. Общая формула для частот перехода, называемая формулой Бальмера, имеет вид: 

.

При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским ф
Характеристические рентгеновские спектры