Введение в математический анализ Определённый интеграл Правила вычисления неопределенных интегралов

Курс высшей математики Примеры решений и лекции

Определённый интеграл.

Введение понятия определённого интеграла.

 Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

 

 Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, … ,xn – xn-1 = Dxn;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn.

 Составим суммы:

n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn =

n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn =

 Сумма  называется нижней интегральной суммой, а сумма  – верхней интегральной суммой.

Т.к. mi £ Mi, то n £ n, а m(b – a) £ n £ n £ M(b – a)

 Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, … , xn-1 < e < xn.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =

Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi

 Следовательно,

 Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

 Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если  , то

 Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма  стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

 Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

 Определение: Если для функции f(x) существует предел  то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

 

 Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

15.2. Свойства определенного интеграла.

Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что

Доказательство: В соответствии со свойством 5:

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число eÎ [a, b], что если

 и m = f(e), а a £ e £ b, тогда . Теорема доказана.

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8)

 Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция j(х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка e, такая, что

15.3. Теорема Ньютона-Лейбница.

 Пусть в интеграле  нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

 Обозначим  = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

 Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

 Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

 Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

 Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

 Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция  - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

 Тогда .

А при х = b:  

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

 Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

 Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

 Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Замена переменных. Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ¥). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

 Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

 Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция  - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

  Тогда .

А при х = b:  

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.


Производная функции, ее геометрический и физический смысл