Введение в математический анализ Определённый интеграл Правила вычисления неопределенных интегралов

Курс высшей математики Примеры решений и лекции

Правила вычисления неопределенных интегралов

.

.

Если  непрерывно дифференцируема, то .

Правило 3 показывает, что таблица интегралов справедлива независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией. Заметим, что

Покажем это. Обозначим ах + b = t. Найдем дифференциал функции adx = dt. Выразим  или .

 хndx = at   .**

 Как видно из 1,2 это правило основано на методе замены переменной, но замена проста и очевидно, что ее легко выполнить «в уме».

  cos x dx = d sin x, sin x dx = –d cos x,

.

 Пример 4.

.

 Проверка.

 .

 При дифференцировании получим подинтегральную функцию, следовательно интеграл взят верно.

 

 Пример 5.

.

 Проверка.

 

.

 

 Получим подинтегральную функцию, значит интеграл взят верно.

 Заметим, что под знаком интеграла выражение в скобках можно возвести в степень 51 и взять интеграл как линейную комбинацию интегралов от степенных функций. Понятно, что этот метод здесь крайне громоздок, и наглядно видно преимущество предложенного здесь метода.

 Пример 6.

 

.

 Пример 7.

.

 Пример 8.

.

 Пример 9.

.

 Пример 10.

.

 

Интегрирование по частям

 Если u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые функции, то .

 Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что интеграл . Этот метод часто применяется, когда под интегралом стоит произведение «разнородных» функций, например, еdx и хb, е2х и sin b x, x и ln x, и arctg x и т.п.

 Пример 1.

.

 Здесь в интеграле подынтегральная функция не является произведение «разводных» функций х и cos x.

 Пример 2.

 

.

 Здесь в интеграле подынтегральная функция является алгебраической функцией, а не трансцендентной, как в данном интеграле.

 Иногда, применяя метод интегрирования по частям, удается получить нетривиальное уравнение для нахождения первообразной функции.

 Пример 3. Вычислим .

 Решение. Имеем

.

2 I = ex(cos x + sin x).

Поэтому

.

 Пример 4. Вычислим .

 Решение. Имеем

,

поэтому

.

Замена переменного Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так: .

Простейшие интегралы,содержащие квадратный трехчлен

Сходимость несобственных интегралов Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной

Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл

Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подынтегральной функции формулой Маклорена.

 Разложение функции cos x имеет вид:

Зная разложение функции cos х легко найти функцию 1 – cos x:

В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.

Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение.


Производная функции, ее геометрический и физический смысл