Введение в математический анализ Определённый интеграл Правила вычисления неопределенных интегралов

Курс высшей математики Примеры решений и лекции

Задача . Вычислить , если l задана уравнением

Решение. Воспользуемся формулой (27) вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах:

Получим

Согласно формуле (20)

Тогда

Задача 17. Найти массу дуги кривой , если плотность кривой 

Решение. Применяем формулу (28) вычисления массы дуги с помощью криволинейного интеграла I рода:

Формула (25) позволяет преобразовать криволинейный интеграл в определенный:

Так как , получаем

Задача 18. Найти работу вектор-силы  на криволинейном пути

Решение. Работа А, совершаемая вектор-силой

 

на криволинейном пути L, есть криволинейный интеграл II рода (формула (32)), т. е.

Кривая задана параметрически, поэтому применяем формулу (31):

где

Тогда

Задача 19. Вычислить , если D ограничена линиями

Решение. На рисунке построена область D – криволинейный треугольник.

1 способ. Двойной интеграл можно вычислить по формуле (33):

Здесь

поэтому

2 способ. Можно использовать формулу (34):

Тогда 

Значит,

Задача 20. Вычислить ,

где D – правая половина кольца (см. рисунок).

Решение. Будем вычислять интеграл в полярных координатах по формуле (35):

Здесь .

Так как  (формулы перехода к полярным координатам), то  

Тогда уравнения окружностей  и  принимают вид  

Следовательно,

Ряды

Задача 21. Определить, какие ряды сходятся:

А)   Б)  В)

Решение.

1. К ряду применим радикальный признак Коши: если , то положительный ряд  сходится при  и расходится, когда

Так как , то ряд расходится.

2. Рассмотрим ряд  Проверим необходимое условие сходимости: если ряд   сходится, то .

Поскольку  , необходимое условие не выполняется, значит ряд расходится.

3. При исследовании сходимости ряда  можно воспользоваться предельным признаком сравнения положительных рядов: если существует конечный и отличный от нуля предел   то положительные ряды  и одинаковы в смысле сходимости.

Для сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд

, сходящийся при  и расходящийся для  При   получим сходящийся ряд .

Применим теорему сравнения

 

Предел конечен и отличен от нуля, поэтому ряд  также сходится.

Задача 22. Исследовать на сходимость ряды:

1)   2) 

Решение.

1. Рассмотрим ряд  .

Он знакочередующийся. К таким рядам применим признак Лейбница. Знакочередующийся ряд

  сходится при условии:

 1)

 2) .

Так как  и , условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд сходится. Если знакопеременный ряд сходится, то эта сходимость называется абсолютной или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Составим ряд из абсолютных величин

.

Получили положительный ряд. Применяем к нему достаточный признак сходимости – признак Даламбера: если  то положительный ряд  сходится при  и расходится, когда

Поскольку

,

ряд  сходится, следовательно, ряд  сходится абсолютно.

2. Рассмотрим ряд  .

Условия признака Лейбница выполняются:

1)  2)  Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость, составим ряд из абсолютных величин  Применяем интегральный признак сходимости Маклорена-Коши: положительный ряд  сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится  (здесь  при  - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, такая что ).

Вычисляем

Это означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расходится ряд , а исходный ряд  сходится условно.

Отметим, что при исследовании сходимости ряда

можно было использовать предельный признак сходимости (см. задачу 21).

Найти область сходимости функционального ряда

Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения 

Нахождение площади криволинейного сектора.

 


 

 Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

 Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле


Производная функции, ее геометрический и физический смысл