Математика Математический анализ Комплексные числа Дискретная математика Кривые второго порядка Линейная алгебра Элементы векторной алгебры Интегральное исчисление Дифференциальное исчисление

Введение в математический анализ Основные теоремы о пределах.

  

  Теорема 1. , где С = const.

 

  Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

 

  Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

  Теорема 3.

  Следствие.

 

  Теорема 4.  при

 

  Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

 

  Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

 

  Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

 

  Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

 

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

 или

, т.е.

где М = e + ïАï

 

 

Наибольшее и наименьшее значение функции В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая что непрерывная на отрезке a;b функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т.е существуют точки отрезка a;b , в которых f принимает наибольшее и наиме6ньшее на a;b значения.
На главную