Перенос баз данных с одного SQL Server на другой Изменения в системе защиты SQL Server Новые средства разработки Новые элементы программирования на языке Visual Basic Редактирование и анализ данных с помощью запросов

Лекции по компьютерной графике начало

16.7. Теоретико-числовые преобразования

 1, при n= 0, N

1, если иначе

 
Решаем уравнения 

 

an =

Могут быть найдены решения в кольце целых чисел по модулю M.

Например, рассмотрим кольцо по модулю 5, т. е. работаем только с числами 0, 1, 2, 3, 4.

M=5

Могут быть определены все арифметические операции и результаты, не выходящие за пределы кольца целых чисел.

Пояснение

Например если мы выполняем сложение 3+3 =6.

То в этой таблице на пересечении соответствующей строки и соответствующего столбца будет 1.

Это объясняется тем , что результат сложения делится на модуль (в данном случае =5.) и остаток этого деления заносится в таблицу.(в данном случае остаток =1)

 
Например, таблица для сложения:

+

0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

1

1

2

3

4

0

2

2

3

4

0

1

3

3

4

0

1

2

4

4

0

1

2

3

Рассмотрим функцию Эйлера:

Функция Эйлера - равна количеству чисел, меньших M и не имеющих с ним общих множителей. Следовательно, функция Эйлера от простого числа будет равна самому этому числу минус 1, т.е.

j(q1;q2) = j(q1) j(q2) – фундаментальное значение в теории чисел.

Теорема Ферма-Эйлера.

В кольце целых чисел всегда существует такое основание a, при котором:

Если a,M не имеют общих множителей.

(a,M) =1 наибольший общий делитель =1.

Тогда имеет место соотношение :

(mod M)

aоснование, Mмодуль, N — количество отсчетов.

Следствие

1. Если число Mпростое, то  

Известно N, надо найти M.

aN = aj(M) = 1 - не всякое число M может являться решением данного уравнения.

  an =1, если n-делитель .

Теорема Ферма-Эйлера –2

В кольце целых чисел по модулю M всегда найдутся числа a,M такие, что

 aN = 1 по mod M.

 an=N=1 по mod M

N – это делитель .

Если число- то любой делитель =N.

возьмём для частного случая

 
 

 

P – простое число, a — степень

Если n=2q , то число является простым

2n +1 = 2r +1 –числа Ферма.

 где r = 2q

 - числа Ферма.

Числа являются простыми не для любого q.

На сегодняшний день известны значения q=0,1,2,3,4.

Q

0

1

2

3

4

N

1

2

4

8

16

N

2

4

16

256

65536

M

3

5

17

257

65537

0

2

2

3

3

3

a – удовлетворяющее данным условиям.

 
 

Пересчитаем основание a:

N’ = ;

(a’)N = 1 (a’)N/2a = 1 a’ = az , где z=2a.

Если изображение имеет размер 1024 * 1024 пиксела, то

M = 65537 ; a=3 ; N = 65536.

Достоинства и недостатки методов:

Фурье.

Недостатки: используем комплексные числа, числа все иррационные, нет возможности использовать для малой разрядной сетки.

Достоинства: работа в традиционной арифметике, коэффициенты Фурье имеют простой физический смысл.

Теоретико-числовые преобразования:

Недостатки: арифметика по модулю M, коэффициенты носят абстрактный характер.

Достоинства: вся работа с целыми числами, маленькая разрядная сетка (17 разрядов).

Существуют быстрые алгоритмы взятия линейного преобразования:

Выигрыш может быть получен при использовании метода быстрых теоретико-числовых преобразований. Этот метод наиболее эффективен, если число отсчетов

Схема одномерного преобразования:

Нарисуем для n=4:

Количество ступеней для числа n —

Число выходов на каждой ступени – 2N.

Вернемся к схеме преобразования:

Пренебрегаем данной сложностью. Всего N строк, на каждой строке , всего

Сложность прямого преобразования

Сложность быстрого преобразования:

, где k — коэффициент сложности

Рассмотрим случай, когда .

Т. е.

Например, N=512, k=3

Дизайн, инженерная и Web графика