Перенос баз данных с одного SQL Server на другой Изменения в системе защиты SQL Server Новые средства разработки Новые элементы программирования на языке Visual Basic Редактирование и анализ данных с помощью запросов

Лекции по компьютерной графике начало

3.1. Координаты и преобразования

Описание, конструирование, манипулирование и представление геометрических объектов являются центральными работами в графических системах. Их поддержка в требуемом объеме за счет соответствующих математических методов, алгоритмов и программ оказывают существенное влияние на возможности и эффективность графической системы. В данном разделе будут рассмотрены математические методы для описания геометрических преобразований координат в двух и трехмерном случае, будут обсуждены некоторые вопросы эффективности, рассмотрены геометрические преобразования растровых картин.

Далее большими буквами x, y, z будут обозначаться обычные декартовые координаты, а маленькие буквы X, Y, Z будут использоваться для обозначения т.н. однородных координат.

3.2. Двумерные геометрические преобразования

Параллельный перенос

Параллельный перенос в плоском случае имеет вид:

 

   x` = x + Dx

 y` = y + Dy

[x’, y’] = [x, y] + [Dx, Dy]

 

 P’ P T

или в векторной форме:

P` = P + T,

где  P` = [x` y`] - вектор-строка преобразованных координат,

где x, y - исходные координаты точки,
Tx, Ty - величина сдвига по осям,
x`, y` - преобразованные координаты.
P = [x y] -- вектор-строка исходных координат,
P` = [x` y`] -- вектор-строка преобразованных координат,
T = [Tx Ty] -- вектор-строка сдвига.

Масштабирование

Преобразование масштабирования относительно начала координат имеет вид:

  x` = x ·Sx

 y` = y ·Sy или

 

  Sx 0

[x`, y`] = [x, y] ·

   0 Sy 

  P` P

  S 

или в матричной форме:

P` = P ·S,

где Sx, Sy -- коэффициенты масштабирования по осям, а

S - матрица масштабирования

Поворот

Преобразование поворота относительно начала координат имеет вид:

 

  x`= x·cos(φ) – y·sin(φ)

  y`= x·sin(φ) + y·cos(φ)

или

   cos(φ) sin(φ)

[x`, y`] = [x, y] ·

   –sin(φ) cos(φ

  P` P

  R 

Где R – матрица поворота

φ – положительный угол поворота

или в матричной форме:

P` = P ·R,

 

Столбцы и строки матрицы поворота представляют собой взаимно ортогональные единичные векторы. В самом деле квадраты длин векторов-строк равны единице:

cosf·cosf+sinf·sinf = 1

(-sinf) ·(-sinf)+cosf·cosf = 1,

а скалярное произведение векторов-строк есть

cosf·(-sinf) + sinf·cosf = 0.

Так как скалярное произведение векторов A ·B = |A| ·|B| ·cosy, где |A| - длина вектора A, |B| - длина вектора B, а y - наименьший положительный угол между ними, то из равенства скалярного произведения двух векторов-строк длины 1 следует, что угол между ними равен 90°.

Аналогичное можно показать и для векторов-столбцов. Кроме того вектора-столбцы представляют собой такие единичные векторы, которые после выполнения преобразования, заданного этой матрицей, совпадут с осями. В самом деле, произведение первого столбца на матрицу есть

 

   

cosf

-sinf

 

 

·

 

 

cosf

sinf

 

 

=

 

 

1 0

   

 

,

 
 

-sinf

cosf

 

т.е. это единичный вектор вдоль оси X.

Аналогично, произведение второго столбца на матрицу даст вектор [ 0 1 ]. Это позволяет сформировать матрицу, если известны результаты преобразования.

Дизайн, инженерная и Web графика