Перенос баз данных с одного SQL Server на другой Изменения в системе защиты SQL Server Новые средства разработки Новые элементы программирования на языке Visual Basic Редактирование и анализ данных с помощью запросов

Лекции по компьютерной графике начало

3.4. Трехмерные геометрические преобразования

Далее при рассмотрении трехмерных преобразований, в основном, используется общепринятая в векторной алгебре правая система координат (рис. а). При этом, если смотреть со стороны положительной полуоси в центр координат, то поворот на +90° (против часовой стрелки) переводит одну положительную ось в другую (направление движения расположенного вдоль оси и поворачивающегося против часовой стрелки правого винта и положительной полуоси совпадают). В некоторых, специально оговариваемых случаях, используется левая система координат (см. рис. б). В левой системе координат положительными будут повороты по часовой стрелке, если смотреть с положительного конца полуоси. В трехмерной машинной графике более удобной является левая система координат. Тогда если, например, поверхность экрана совмещена с плоскостью XY, то большим удалениям от наблюдателя соответствуют точки с большим значением Z (см. рис. б).


Работа с однородными трехмерными координатами и матрицами преобразования (формирование и композиция) подобна таковой для двумерного случая, поэтому здесь будут рассмотрены только матрицы преобразований сдвига, масштабирования и поворота и пример конструирования матрицы преобразования по известному его результату.

Подобно тому как в двумерном случае точка в однородных координатах представляется трехмерным вектором [ X Y W ], а матрицы преобразований имеют размер 3×3, для трехмерного случая точка представляется четырехмерным вектором [ X Y Z W ], где W не равно 0, а матрицы преобразований имеют размер 4×4.

Формулы для преобразования:

Если W не равно 1, то декартовые координаты точки (x,y,z) получаются из соотношения:

[ x y z 1 ] = [ (X/W) (Y/W) (Z/W) 1 ].

Параллельный перенос:

  Р` = Р∙Т;

1 0 0 0 

Где Т =

 
  0 1 0 0 - матрица переноса

0 0 1 0 
Tx Ty Tz 1

Масштабирование:

  Р` = Р∙S;

 

  Sx 0 0 0 

S =

 
 0 Sy 0 0 , S – матрица

  0 0 Sz  0
0 0 0 1

Поворот:

При повороте в 3-х мерном пространстве существует 3 поворота вокруг каждой из осей.

Кроме того, существует 2 системы координат: правая и левая.

Для обеих систем:

Х: Y→Z

Y: Z→X

Z: X→Y

 

Ранее рассмотренная для двумерного случая матрица поворота является в то же время трехмерным поворотом вокруг оси Z. Так как при трехмерном повороте вокруг оси Z (поворот в плоскости XY) размеры вдоль оси Z неизменны, то все элементы третьей строки и третьего столбца равны 0, кроме диагонального, равного 1:

Rz(fz) =

 

 

cosfz

sinfz

0

0

   

.

-sinfz

cosfz

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

При повороте вокруг оси X (в плоскости YZ) размеры вдоль оси X не меняются, поэтому все элементы первой строки и первого столбца равны 0, за исключением диагонального, равного 1:

Rx(fx) =

 

 

1

0

0

0

   

.

0

cosfx

sinfx

0

0

-sinfx

cosfx

0

0

0

0

1

При повороте вокруг оси Y (в плоскости XZ) размеры вдоль оси Y не меняются, поэтому все элементы второй строки и второго столбца равны 0, за исключением диагонального, равного 1:

Ry(fy) =

   

cosfy

0

-sinfy

0

   

.

0

1

0

0

sinfy

0

cosfy

0

0

0

0

1

В общем случае любой поворот в пространстве может быть описан с помощью некоторых комбинаций этих трех поворотов. Причём повороты не обладают свойством коммутативности:

RX RYRZRZRXRY.

Любой произвольный поворот может быть представлен 6 сочетаниями элементарных поворотов. Причем в каждом случае будут свои углы (за исключением вырожденных ситуаций).

P` = P ∙ R, где R – матрица поворотов.

P` = [X`, Y`, Z`, 1];

P  = [X, Y, Z, 1];

Элементы R – косинусы соответствующих углов.

 

   a1 a2 a3 0 cos(XOX`) cos(XOY`) cos(XOZ`)  0

==

 

R =

 
 
   b1 b2  b3 0 cos(YOX’) cos(YOY’) cos(YOZ’)  0

  c1 c2  c3 0 cos(ZOX’) cos(ZOY’) cos(ZOZ’) 0

   0 0 0 1 0 0 0 1

Элементы матрицы R можно также рассматривать в виде векторов:

`i, `j, `k – это вектора единичной длины.

`N1 = `i ·a1 +`j ·b1 +`k·c`M1 = `i ·a1 +`j ·a2 +`k·a3
`N2 = `i ·a2 +`j ·b2 +`k·c`M2 = `i ·b1 +`j ·b2 +`k·b3
`N3 = `i ·a3 +`j ·b3 +`k·c`M3 = `i ·c1 +`j ·c2 +`k·c3

Запишем векторное произведение:

`N1 ´`N2 =`N3  `M1 ´`M2 =`M3  

`N2 ´`N3 =`N1  `M2 ´`M3 =`M1  

`N3 ´`N1 =`N2  `M3 ´`M1 =`M2  

Скалярное произведение:

`N1 ·`N2 =`N1 ·`N3 =`N2 ·`N3 = 0

Композиция 3D изображений

P` = P·M; P = P`· М–1

Поворот вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат:

  z

l2+m2+n2=1,т.е. координата нормирована

 
 

j

 

P’

 

P

 

y

 

x

 
   (l, m, n) 

  

   

 

 

  

 

 l2+cos(j)·(1–l2) l·(1–cos(j))·m+n·sin(j) l·(1–cos(j))·n–m·sin(j) 0 

M =

 
 

 l·(1–cos(j))·m m2+cos(j)·(1–m2) m·(1–cos(j))·n+l·sin(j) 0 

 l·(1–cos(j))·n+m·sin(j) m·(1–cos(j))·n–l·sin(j) n2+cos(j)·(1–n2) 0 

  0 0 0 1 

M – в общем случае не ортогональная матрица, т.е. М–1≠ МТ,

а R–ортогональная (R–1=RT).

В общем виде матрица преобразований имеет вид:

  m11 m12 m13  0 

 m21  m22 m23 0

M = m31 m32 m33  0

 m41 m42 m43  1

Координаты точки вычисляются по следующим формулам:

X` = X*m11+Y* m21+ Z* m31+ m41 

Y` = X*m12+Y* m22+ Z* m32+ m42

Z` = X*m13+Y* m23+ Z* m33+ m43

    Дизайн, инженерная и Web графика