Перенос баз данных с одного SQL Server на другой Изменения в системе защиты SQL Server Новые средства разработки Новые элементы программирования на языке Visual Basic Редактирование и анализ данных с помощью запросов

Конспект лекций по начертательной геометрии Черчение оглавление

Комплексные чертежи геометрических фигур

2.2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧЕРТЕЖИ ЛИНИЙ

Линии среди геометрических фигур занимают особое положение. Помимо служебного применения при выполнении изображений и различных графических построений, они позволяют решать многие научные и инженерные задачи. Например, с помощью линий можно создать наглядные модели многих процессов, установить и исследовать функциональную зависимость между различными параметрами, конструировать поверхности технических форм и т. п. Линию можно представить либо как границу поверхности, либо как след непрерывно движущейся в пространстве точки. Так как положение точки на линии определяется одной непрерывно меняющейся величиной (одним параметром), линия является однопараметрическим (одномерным) непрерывным множеством точек. Для начертательной геометрии второй, так называемый кинематический, способ представления линии является более удобным. Существуют прямые, ломаные и кривые линии.

 

2.2.1. Комплексные чертежи прямых линий

Прямая есть такое множество точек, свойства которого определяются известной аксиомой прямой линии: "через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая" и теоремой, которая следует из аксиомы прямой: "две различные прямые могут иметь не более одной общей точки". Плоские грани на криволинейных поверхностях полезно выделять диагональными сплошными тонкими линиями. Следует частично показывать насечку или рифление на поверхностях, которые их имею

Прямая общего положения

Прямая может занимать в пространстве различные положения относительно плоскостей проекций. Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. Проекцией прямой линии в общем случае является прямая (п. 2, раздел 1.3). Очевидно, что в системе плоскостей проекций П21 прямая l 6удет иметь две проекции: l1 на П1 и l2 на П2 (рис. 2.2.1, a).
Две проекции прямой общего положения определяют ее положение в пространстве, так как каждая точка прямой имеет две проекции.
pr2_1-1.JPGРис. 2.2.1

Для построения проекций прямой достаточно построить проекции двух ее точек (рис. 2.2.1, в) на основании следствия из пп. 2 и 3, разд. 1.3.
Разность координат двух несовпадающих точек А и В, принадлежащих прямой 1 общего положения, не равна нулю (рис. 2.2.1, в):

ХA - ХB = а 0,
YB - YA = c 0,
ZB - ZA = b 0.
Множество точек, состоящее из двух различных точек прямой и всех точек, находящихся между ними, называется отрезком прямой.

Определение длины отрезка прямой способом прямоугольного треугольника

На рис. 2.2.2 показана пространственная анимационная схема решения данной задачи, а на рис. 2.2.3 приведены необходимые построения на комплексном чертеже. Построим ортогональную проекцию [A1В1] отрезка АВ на плоскость П1. Проведем [АВ0] 1В1]. Треугольник АВВ0 - прямоугольный. Длина одного его катета равна длине горизонтальной проекции отрезка [АВ], а второго - разности высот концов отрезка [АВ].

|AB0| = |A1B1| ; |BB0| = |BB1| - |AA1| = ZB - ZA

Отрезок [АВ] является гипотенузой этого треугольника, а < - углом наклона [АВ] к горизонтальной плоскости проекций. Треугольник, конгруэнтный данному, можно построить на комплексном чертеже (рис. 2.2.3).
Рис. 2.2.2 (аним.)pr2_8-1.html Рис. 2.2.3

Приняв за один катет [А1В1], строим прямоугольный треугольник, вторым катетом которого является отрезок [В1В0] = ZB - ZA. Длина гипотенузы | А1В0 | этого треугольника равна | АВ |, а < = В1А1В0 - величине угла наклона его к плоскости П1. Длина отрезка может быть определена как длина гипотенузы прямоугольного треугольника, одним катетом которого является фронтальная проекция [А2В2], а вторым - разность глубин точек А и В (это построение также показано на рис. 2.2.3). Докажите это самостоятельно.
Подумайте, что определяет обозначенный на рисунке угол .

Принадлежность точки прямой линии

pr2_21.JPG Рис. 2.2.4

Точка может принадлежать прямой и находиться вне прямой. Если точка С (рис. 2.2.4) принадлежит прямой l, то проекции С1 и С2 точки С принадлежат одноименным проекциям прямой l:

С l С1 l1 C2 l2.

Если точка не принадлежит прямой 1, то, по крайней мере, одна из ее проекций не принадлежит одноименной проекции прямой. На рис. 2.2.4 точки А, В и D не принадлежат прямой l, причем точка D расположена над прямой, а точка В - перед прямой.

Прямые частного положения

1. Прямые уровня
Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня.
Горизонталь - прямая, параллельная П1 (рис. 2.2.5).
Рис. 2.2.5 (анимация)Рис. 2.2.6

На рис. 2.2.6 показан комплексный чертеж горизонтали. Горизонталь обозначается буквой h. Ее горизонтальная проекция h1, занимает положение, соответствующее положению самой горизонтали в пространстве, а фронтальная проекция перпендикулярна линиям связи, так как ZB - ZA = 0. Отрезок [АВ] горизонтали h и угол наклона ее к плоскости П2 проецируются на плоскость П1 без искажения.
Фронталь - прямая, параллельная П2 (рис. 2.2.7, рис. 2.2.8).
Рис. 2.2.7 (анимация)Рис. 2.2.8

Фронталь обозначается буквой f, ее фронтальная проекция f2 занимает положение, соответствующее положению самой фронтали в пространстве, а ее горизонтальная проекция перпендикулярна линиям связи, так как YB - УA = 0. Отрезок [АВ] фронтали f и угол наклона ее к плоскости П1 проецируются на плоскость П2 без искажения.
Профильная прямая - это прямая, параллельная П3 (рис. 2.2.9 Рис. 2.2.10).

Рис. 2.2.9 (анимация)Рис. 2.2.10

Профильная прямая обозначается буквой р. Ее профильная проекция занимает положение, соответствующее положению в пространстве самой профильной прямой, а горизонтальная и фронтальная проекции совпадают с одной и той же вертикальной линией связи, так как XA - ХВ = 0. Отрезок [АВ] профильной прямой р и углы и наклона ее соответственно к плоскостям П1 и П2 проецируются на плоскость П3 без искажения.
На рисунке 2.2.10(1) совмещены три прямые уровня (горизонталь, фронталь и профильная прямая.

Рис. 2.2.10(1) (анимация)

Положение горизонтали h и фронтали f в пространстве определяется заданием на чертеже двух их проекций h1 и h2, f1 и f2. Две проекции р1 и р2 профильной прямой р не определяют ее положение в пространстве, так как этим проекциям соответствует бесчисленное множество прямых, принадлежащих профильной плоскости, проходящей через заданную прямую. По аналогии с этим горизонталь не определяется двумя своими проекциями h2, h3, а фронталь - f1 и f3. Поэтому для определения прямой р необходимо задать две проекции
р2, р3 или р1, р3 или же задать на прямой р две точки А и В (рис. 2.2.10) - р22В2) и р11В1). Следовательно, двухпроекционный комплексный чертеж линии уровня обратим только в том случае, если он содержит проекцию прямой на параллельную ей плоскость проекций.

2. Проецирующие прямые

Прямая, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей прямой.
Горизонтально проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная П1 (рис. 2.2.11).
pr2_23.JPG Рис. 2.2.11

Горизонтальная проекция этой прямой вырождается в точку, а фронтальная проекция m22В2) параллельна линиям связи. Горизонтально проецирующая прямая параллельна одновременно П2 и П3, следовательно,
| А2В2 | = | А3В3 | = | АВ |.

 

 

Фронтально проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная П2 (риc. 2.2.12).
pr2_22.JPG Рис. 2.2.12

Фронтальная проекция этой прямой вырождается в точку, а горизонтальная проекция i11D1) параллельна линиям связи. Фронтально проецирующая прямая параллельна одновременно П1 и П3, следовательно, | C1D1 | = | C3D3 | = | CD |.



 

Профильно проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная П3 (рис. 2.2.13).


pr2_24.JPG Рис. 2.2.13


Профильная проекция этой прямой вырождается в точку, а горизонтальная и фронтальная проекции перпендикулярны линиям связи. Профильно проецирующая прямая параллельна одновременно П1 и П2, следовательно,
| M2N2 | = | M1N1 | = | MN |.
Очевидно, что проецирующие прямые представляют собой частный случай прямых уровня, поэтому всех их можно наглядно пронаблюдать и на трехмерных анимационных слайдах, представленных на рис. 2.2.5, 2.2.7, 2.2.9. В крайних положениях прямые уровни занимают проецирующее положение.
Точки, принадлежащие одной и той же проецирующей прямой, называются конкурирующими относительно плоскости проекций, которой перпендикулярна данная прямая. В соответствии с этим точки А и В, принадлежащие прямой m П1 называются горизонтально конкурирующими (рис. 2.2.11), точки C и D, принадлежащие прямой i П2, фронтально конкурирующими, точки M и N, принадлежащие прямой k П3, профильно конкурирующими (рис. 2.2.13).
Конкуренция точек рассматривается в смысле расстояния их до соответствующей плоскости проекций. Например, сравнивая фронтальные проекции А2 и В2 точек А и В (рис. 2.2.11), видим, что точка А расположена выше точки В. Сравнивая горизонтальные проекции С1 и D1 точек С и D (рис. 2.2.12), видим, что точка D расположена перед точкой С (по отношению к наблюдателю, стоящему перед плоскостью П2). По аналогии точка М дальше от П3, чем точка N (рис. 2.2.13). Конкурирующие точки применяются для решения вопроса о том, какая из двух скрещивающихся прямых располагается над другой и какая перед другой, и в конечном счете для определеня видимости проекций геометрических фигур на комплексных чертежах.

2.2.2. Комплексные чертежи плоских и пространственных ломаных

Ломаной АВСDЕ называется объединение отрезков [АВ], [ВС], [СD], [DЕ] таких, что конец каждого отрезка (кроме последнего) является началом следующего и смежные отрезки не лежат на одной прямой (рис. 2.2.14).
pr2_10.JPG Рис. 2.2.14

Каждый из отрезков, составляющих ломаную, называется ее звеном, точки В, С, D - вершинами ломаной, точки А, Е - концами ломаной. Если А = Е - ломаная замкнутая. Если все звенья ломаной принадлежат одной плоскости (рис. 2.2.14, б), она называется плоской, в противном случае - пространственной (рис. 2.2.14, в).



pr2_25.JPG Рис. 2.2.15

Для построения проекций ломаной(как плоской, так и пространственной) достаточно построить проекции всех ее вершин (рис. 2.2.15, а, б - плоские ломаные, рис. 2.2.15, в - пространственная ломаная).
 

 

 

 

Дизайн, инженерная и Web графика