Математика Математический анализ Комплексные числа Дискретная математика Кривые второго порядка Линейная алгебра Элементы векторной алгебры Интегральное исчисление Дифференциальное исчисление

  Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида .

  Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

Тогда 

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

  Пример.

  Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

 Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

  Пример.

Интеграл вида  если функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

 

Функция  может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

 

Совокупность объектов, объединённых некоторым общим признаком, называют множеством, а сами объекты - элементами множества. Множества могут быть конечными, при этом все их элементы могут быть перечислены; и бесконечные. При этом множество задают путём указания характеристического свойства.

Математика примеры решения задач курсовые и типовые задания