Математика Математический анализ Комплексные числа Дискретная математика Кривые второго порядка Линейная алгебра Элементы векторной алгебры Интегральное исчисление Дифференциальное исчисление
 

Кратные интегралы.

 Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Двойные интегралы.

 Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0.

 

  Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

  С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром. Числовые ряды. Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.

  Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dхi, а по оси у – на Dуi. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = Dxi × Dyi .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

  Если бесконечно увеличивать количество частичных областей Di, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.

 Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы  имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

  С учетом того, что Si = Dxi × Dyi получаем:

 

  В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

 Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Рi, то, считая все площади Si одинаковыми, получаем формулу:

 

 

Множества могут быть числовыми и нечисловыми. Элементом нечислового множества может явиться вектор (направленный отрезок). Вектор характеризуется числом (модулем) и направлением. Над этими множествами также могут осуществляться алгебраические операции, к которым относятся операции сложения и умножения. Алгебраическая операция - операция над двумя элементами принадлежащим одному или нескольким множествам.

Математика примеры решения задач курсовые и типовые задания